Spherical functions and spectrum of the Laplace operators on buildings of rank 2

Si considera un palazzo affine di Bruhat-Tits Δ ti tipo Ã2. In due precedenti lavori sono stati studiati e descritti gruppi Γ che agiscono in modo semplicemente transitivo sull'insieme dei vertici X del palazzo. In alcuni casi il gruppo Γ può essere identificato con un sottogruppo discreto del gruppo proiettivo PGL(3,K), essendo K un campo locale di valutazione discreta, ed il palazzo Δ si identifica con quello associato in modo canonico a tale gruppo. In particolare se K=F_q((Z)), q numero primo, allora Γ è descritto in mod esplicito. Nel presente lavoro si considera il palazzo Δ=Δ_K associato a G=PGL(3,K), con K campo locale di valutazione discreta v, un sottogruppo discreto Γ di G che agisce in modo semplicemente transitivo su Δ e si dà una descrizione esplicita dell'analisi armonica sferica su Γ. Precisamente si descrivonole frontiere del palazzo ed i relativi nuclei di Poisson, si studia l'algebra di Hecke e i relativi operatori di Laplace, caratterizzando i funzionali lineari moltiplicativi su tale algebra in termini di funzioni sferiche. Infine si stabilisce una formula integrale per le funzioni sferiche in termini di trasformata di Poisson e si determina lo spettro dei Laplaciani su l^p(X), per ogni 1≤p≤+∞.