Analisi elastica non lineare e collasso di strutture ad arco in muratura

Come noto, la ricerca teorica sulle strutture voltate in muratura si svolge lungo due principali linee di pensiero, strettamente connesse all’evoluzione storica delle conoscenze meccaniche: una prima linea di pensiero, che affonda le sue radici nella statica settecentesca dei sistemi indeformabili, concepisce l’arco come un sistema di blocchi rigidi e concentra l’attenzione sulla stabilità globale della struttura, valutando se esista una qualunque condizione di equilibrio che assicuri l’impossibilità di meccanismi di collasso; una seconda linea, invece, frutto dei nuovi concetti di resistenza ed elasticità formalmente messi a punto durante l’Ottocento, concepisce l'arco come una struttura deformabile e si pone l'obiettivo di trovare la soluzione effettiva di equilibrio studiando l’evoluzione dei campi di sforzo e di deformazione al crescere dei carichi applicati. La prima linea di pensiero affronta due problemi ritenuti fondamentali per la stabilità delle strutture voltate in muratura: da un lato, la ricerca della geometria dell’arco tale da garantirne l’equilibrio sotto l’azione del peso proprio e di eventuali sovraccarichi; dall’altro, la determinazione delle dimensioni dei piedritti affinché l’intera struttura sia stabile. In quest’ambito vanno menzionati, fra gli altri, gli studi di De La Hire, Couplet, Bouguer, Bossut, Coulomb e i decisivi apporti ottocenteschi di Persy, Navier e Michon, con i quali il metodo coulombiano dei massimi e dei minimi trova finalmente una completa applicazione per l’analisi dei meccanismi di collasso. Nel XX secolo questo tipo di approccio è stato ripreso da vari studiosi dal punto di vista della moderna teoria della plasticità: fra di essi, occorre qui ricordare Kooharian, che per primo ha esteso alle strutture ad arco in pietra o calcestruzzo i concetti sviluppati per l'analisi limite delle strutture elastoplastiche, e Heyman, al quale si devono, da un lato, gli studi più significativi sull’analisi dello stone skeleton alla luce dei teoremi della plasticità e, dall’altro, la riscoperta degli studi settecenteschi sulla stabilità dei sistemi voltati. In questa stessa linea, volta ad una consapevole rilettura dei contributi storici alla luce di una moderna formulazione dell’equilibrio dei sistemi rigidi a contatto unilaterale, sono da leggere le analisi storico-critiche di Benvenuto e gli studi teorici di Sinopoli, Corradi e Foce. La seconda linea di pensiero, sostanzialmente indirizzata a determinare l’effettiva curva delle pressioni fra le infinite equilibrate per un arco stabile, si afferma ‘ufficialmente’ nell’ultimo quarto del XIX secolo, al termine di un graduale processo di comprensione e messa a punto degli strumenti per l’analisi delle strutture iperstatiche. In effetti, prima che l’arco murario venisse inquadrato nella categoria dei sistemi elastici, si registrano numerosi contributi volti a introdurre nella tradizione dell’analisi a collasso i nuovi argomenti della resistenza e dell’elasticità dei materiali. Si tratta, in generale, di tentativi destinati all’insuccesso perché miranti a determinare la vera curva delle pressioni attraverso ipotesi a priori, prive di reale fondamento meccanico. In questo contesto vanno letti, fra gli altri, i contributi di Navier, Gerstner, Moseley, Scheffler, Drouets, Dupuit e Méry. L’unico studio pre-elastico di reale portata scientifica fa capo al nome di Durand-Claye, al quale si deve un metodo grafico - detto delle aree di stabilità - che costituisce un razionale trait d’union fra analisi limite e analisi elastica. La logica del metodo, infatti è quella di determinare, in un’ottica vicina a quella dell’analisi limite, tutte le spinte in chiave che garantiscono l’equilibrio di corpo rigido e di selezionare, quindi, quelle che risultano compatibili con la resistenza del materiale. Il fondamento razionale del contributo di Durand-Claye rispetto ai contemporanei tentativi di conciliare la tradizione dell’analisi limite con l’aspetto della resistenza della muratura è un dato riconosciuto nella letteratura ottocentesca. Non a caso, il metodo delle aree di stabilità venne da più parti salutato come l’atteso toccasana nel panorama di studi sulla teoria delle volte, sino ad entrare a pieno titolo nell’insegnamento delle università tecniche. Ciononostante, la congiuntura scientifica dell’ultimo quarto del XIX secolo doveva promuovere il nuovo indirizzo elasticista anche nell’ambito delle strutture in muratura. La definitiva sistemazione della teoria dei sistemi elastici divenne il fondamento su cui sviluppare la ‘nuova teoria’ per l'arco murario, alla quale aderì in modo pressoché unanime la comunità scientifica europea. Non è qui il caso di presentare il senso del nuovo approccio. Si tratta, in fondo, di ciò che ancor oggi si usa per risolvere i sistemi iperstatici, con la sola differenza di considerare nulla la resistenza a trazione, come nella procedura indicata da Castigliano nella nota applicazione del suo teorema energetico all’analisi del ponte Mosca sulla Dora, a Torino. Se la soluzione di Castigliano rappresenta l’esito della ricerca ottocentesca sulla statica delle volte in muratura come sistemi a comportamento elastico lineare, nel XX secolo si apre la problematica di un'adeguata modellazione del materiale muratura. Signorini è il primo a proporre un legame costitutivo di tipo elastico non lineare, in cui si tenga conto della limitata resistenza a trazione. Con la recente ripresa d’interesse verso i materiali notension, sono poi da ricordare gli studi di Giovanni e Manfredi Romano, di Di Pasquale, Del Piero e altri, che intendono la muratura come continuo di Cauchy non resistente a trazione, di Alpa e Gambarotta, Mariano e Trovalusci e altri autori, volti a modellare la muratura come continuo equivalente o come continuo di Cosserat, e, infine, di Bennati, Barsotti e Orlandi che, riprendendo il suggerimento di Signorini, sviluppano e applicano alle strutture ad arco un modello costitutivo elastico non lineare. Facendo riferimento al consistente background di ricerche sul tema, la presente tesi si configura come il tentativo di porre in dialogo due descrizioni apparentemente opposte del comportamento meccanico di un arco: da un lato, l’arco come trave elastica a comportamento elastico non lineare, limitatamente resistente a trazione e a compressione - sulla base del contributo di Bennati, Barsotti e Orlandi - per il quale esiste un’unica soluzione che rispetti le condizioni di equilibrio, di congruenza e di compatibilità; dall'altro l’arco non deformabile analizzato attraverso il metodo di Durand-Claye, opportunamente esteso per tener conto anche di una limitata resistenza a trazione, per il quale vengono cercate le soluzioni simultaneamente compatibili con l’equilibrio della struttura e con la resistenza del materiale. Le due metodologie sono applicate ad alcune semplici tipologie strutturali, come piattabande e archi moderatamente ribassati, in modo da offrire un esame comparato dei rispettivi risultati.